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牟合方盖三视图,牟合方盖的推理(2)

来源:www.zhongliu365.com时间:2017-05-10奇闻指数:编辑:han手机版

牟合方盖的推理

在这个立体里面,可以内切一个半径和原来圆柱体一样大小的球体。

刘徽指出,由于内切圆的面积和外切正方形的面积之比为 π : 4(见图)所以球体体积与“牟合方盖”的体积之比亦应为 π :4。

显然,只要求出牟合方盖的体积,那么球体积便迎刃而解。可惜的是,刘徽功亏一篑,未能求出牟合方盖的体积。

二百年后,能实现刘徽愿望的人终于出现了。他就是祖暅!祖暅是南北朝时代大数学家祖冲之的儿子。祖暅沿用了刘徽的思想,利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算,他的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份,取它的八分之一来研究。

设OP = h,过 P 点作平面 PQRS 平行于 OABC。又设内切球体的半径为 r,则 OS = OQ = r,由勾股定理,不难证明等高处阴影部分的面积总相等。所以,有理由相信,虽然方锥跟小正立方体去掉小“牟合方盖”后的形状不同,但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算,而在等高处的截面面积总是相等的,所以它们的体积也就不能不是相等的了。于是他提出了著名的原理:“缘幂势既同,则积不容异。”再根据刘徽的想法,可求出球体体积公式。

牟合方盖公式

直径=3√(球体体积×16/9)

球体体积=(9x 直径^3)/16

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